Эквивалентные формы и матрицы

Пусть $V$ — конечномерное пространство над полем $F$, $e$ — базис $V$, $B \in M_n(F)$. Тогда функция $$ f(x, y) = [x]_e^{T} B [y]_e $$ является билинейной.

Проверим 1 свойство - аддитивность по первому аргументу. Для $x_1,x_2,y \in V$: $$ f(x_1+x_2, y) = [x_1+x_2]_e^{T} B [y]_e = ([x_1]_e + [x_2]_e)^{T} B [y]_e = f(x_1,y) + f(x_2,y) $$ Остальные 3 свойства проверяются аналогично. $\square$

Пусть $V$ — конечномерное пространство над полем $F$, $e$ — базис $V$, $n = \dim V$. Тогда для любой билинейной функции $f(x, y)$ существует матрица $B \in M_n(F)$ такая, что: $$ f(x, y) = [x]_e^{T} B [y]_e $$

Пусть в базисе $e$: $[x]_{e} = (\lambda_{1}, \dots, \lambda_{n})^{T}$, $[y]_{e} = (\mu_{1}, \dots, \mu_{n})^{T}$. По билинейности: $$ f(x, y) = f\left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}e_{i}, \sum_{j=1}^{n} \mu_{j}e_{j} \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \lambda_i \mu_j f(e_i, e_j) $$ Тогда матрица $B = (b_{ij})$, где $b_{ij} = f(e_i, e_j)$, является матрицей билинейной формы. $\square$

Билинейная функция $f(x,y)$ симметрична $\iff$ её матрица $B$ симметрична ($B = B^{T}$).

$\Large\implies$ Пусть $f$ симметрична: $f(a,b) = f(b,a)$ для всех $a,b \in V$. Матрица $B = (b_{ij})$, где $b_{ij} = f(e_i, e_j)$. По симметричности: $$ b_{ij} = f(e_i, e_j) = f(e_j, e_i) = b_{ji} \implies \forall i,j\mathpunct{:}~ B = B^{T} $$ $\Large\impliedby$ Пусть $B = B^{T}$. Для произвольных $x,y \in V$ с координатными столбцами $[x]_e$, $[y]_e$: $$ f(x,y) = [x]_e^{T} B [y]_e $$ $$ f(y,x) =^{*} [f(y, x)]^{T} = \left( [y]_e^{T} B [x]_e \right)^{T} = [x]_e^{T} B^{T} [y]_e = [x]_e^{T} B [y]_e $$ $*$ - транспонирование числа. Следовательно, $f(x,y) = f(y,x)$. $\square$

Пусть $A = (a_{ij})$ и $x = Ay$. Замена называется **невырожденной**, если $A$ - обратима.

2 формы называются **эквивалентными**, если одна получена из другой невырожденной заменой.